Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

3 Folgen und Reihen 42
3.3. Spezielle Potenzreihen
Erinnerung:
k! := 1 · 2 · 3 · . . . · k, 0! := 1 ( ” k-Fakultät“).
Satz 3.15
e x ∞� 1
=
k! · xk , insbesondere e = ∞�
k=0
k=0
1
k! (eulersche Zahl).
Die Reihe konvergiert für alle x ∈ R. In die Potenzreihe kann man auch x ∈ C einsetzen
und so e z für z ∈ C definieren, vgl. S. 32.
Bemerkung:
Aus der Potenzreihe der e-Funktion erhält man die Potenzreihen zu sin und cos,
denn es gilt
e jx = 1 1 1
· 1 + (jx) +
0! 1! 2! (jx)2 + 1
3! (jx)3 + 1
4! (jx)4 + · · ·
= 1 1 1
· 1 + j x −
0! 1! 2! x2 − j 1
3! x3 + 1
4! x4 + − · · ·
= 1 1
· 1 −
0! 2! x2 + 1
4! x4 − 1
6! x6 + − · · ·
+ j
�
1 1
x −
1! 3! x3 + 1
5! x5 − 1
7! x7 + − · · ·
Wegen e jx = cos x + j sinx (s. Satz 2.5) folgt:
sin x = x − 1
3! x3 + 1
5! x5 − 1
7! x7 + − · · · =
cos x = 1 − 1
2! x2 + 1
4! x4 − 1
6! x6 + − · · · =
�
.
∞�
k=0
∞�
k=0
Ferner erhält man auch die Potenzreihen zu cosh und sinh:
cosh x = 1
2 (ex + e −x )
= 1
��
1 + x +
2
1
2! x2 + 1
3! x3 �
+ . . .
= 1 + 1
2! x2 + 1
4! x4 + . . .,
ähnlich: sinhx = x + 1
3! x3 + 1
5! x5 + . . ..
3.3. Spezielle Potenzreihen
(−1) k
(2k + 1)! · x2k+1 ,
(−1) k
(2k)! · x2k .
�
+ 1 − x + 1
2! x2 − 1
3! x3 ��
+ − . . .