Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen
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7 Vektorrechnung 82<br />
2. Die Eigenschaften sind leicht nach zurechnen, z.B.<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
a1<br />
(�a + � ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
b) · �c = ( ⎝ . ⎠ + ⎝ . ⎠) · ⎝ .<br />
Definition ⎛7.7<br />
Zu �a =<br />
⎜<br />
⎝<br />
Bemerkung:<br />
a1<br />
.<br />
an<br />
⎞<br />
an<br />
b1<br />
bn<br />
c1<br />
cn<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
= (a1 + b1) · c1 + · · · + (an + bn) · cn<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
= a1c1 + · · · + ancn + b1c1 + · · · + bncn<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
a1<br />
an<br />
c1<br />
cn<br />
b1<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
= ⎝ . ⎠ · ⎝ . ⎠ + ⎝ . ⎠ · ⎝ .<br />
bn<br />
c1<br />
cn<br />
a1 + b1<br />
.<br />
an + bn<br />
⎞<br />
⎛<br />
c1<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ · ⎝ .<br />
cn<br />
⎟<br />
⎠ = �a · �c + � b · �c.<br />
⎟<br />
⎠ ∈ R n ist die (Standard-) Länge/Norm/Betrag definiert durch<br />
||�a|| := |�a| := √ �a ·�a =<br />
Es ist also �a ·�a = ||�a|| 2 .<br />
Beispiel 3:<br />
� �<br />
2<br />
|| || =<br />
1<br />
� 22 + 12 = √ 5.<br />
Beispiel 4:<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
|| ⎝2<br />
⎠ || =<br />
3<br />
� 22 + 22 + 32 = √ 17<br />
�<br />
�2<br />
= 2 + 22 2<br />
+ 32 .<br />
Beispiel 5:<br />
�<br />
a 2 1 + · · · + a2 n.<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
⎜<br />
|| ⎜3<br />
⎟<br />
⎝0<br />
⎠<br />
2<br />
|| = � 22 + 32 + 02 + 22 = √ 17.<br />
7.3. Das Skalarprodukt<br />
z<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
x<br />
y
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