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6 Integralrechnung 66
Bemerkung:
Satz 6.4 gilt allgemeiner für stückweise stetige Funktionen,
d.h. Funktionen mit endlich vielen Sprungstellen,
zwischen denen die Funktion stetig ist, z.B.:
�
−1 , x ≤ 0
f : [−1, 1] → R, x ↦→
1 , x > 0 .
Es ist
Beispiel 2:
�1
−1
f(x)dx = 0.
Vorüberlegung:
Es gilt: n�
k=1
k = 1 + 2 + . . . + n = n·(n+1)
2 .
Sei nun f : [0, 1] → R, x ↦→ x.
Da f stetig ist, existiert � 1
0 f(x)dx nach Satz 6.4 und kann
entsprechend der Definition mit einer Folge von Zerlegungen
und entsprechenden Zwischenpunkten berechnet werden.
Berechnung:
Betrachte die äquidistante Zerlegung Zn = {0, 1
n
also x (n)
k
Setze �xk (n) = x (n)
k
Also ist
k
1
= n , k = 0, . . . , n. Dann ist ∆x(n)
k = n .
�
S f, Zn, �xk (n)�
�1
0
f(x)dx = 1
2 .
k = n . Dann ist
=
n�
k=1
= 1
·
n2 = n + 1
2n
n→∞
−→ 1
2 .
x (n)
k · ∆x (n)
k =
n�
k=1
, 2
n
n�
k=1
−1
n
n−1 , . . . , n , 1},
k 1
·
n n
k = 1 n(n + 1)
·
n2 2
6.1. Definition des Integrals und elementare Eigenschaften
1
−1
� . . .
� � . . .
� � � . . .
.
. . . .. . .. .
� � � . . . �
n + 1
�� �� �� ��
�� �� ��
�� ��
��
1