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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 102
Beispiel 7:
Bei A = � 2 3 −1
1 0 −1
� , B =
(A · B) · x =
A · (B · x) =
=
� 1 0
2 0
0 0
� 8 0
1 0
�
und x = � �
1
−3 ist
� � � � �
1 8
· = ,
−3 1
⎛⎛
⎞
� � 1 0 � �
2 3 −1
· ⎝⎝
2 0 ⎠
1
·
1 0 −1
−3
0 0
⎞
⎠
⎛ ⎞
� � 1 � �
2 3 −1
· ⎝2
⎠
8
= .
1 0 −1
1
0
Definition 8.9
Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält man aus A ∈ R m×n die transponierte
Matrix A T ∈ R n×m .
Beispiel 8:
Zu A =
Zu B =
Bemerkung:
� �
2 3 −1
∈ R
1 0 −1
2×3 ist A T =
⎛
⎝
⎛
1 0 0
⎞
1
⎝ 2 0 1 0 ⎠ ∈ R
0 0 −1 0
3×4 ist B T =
⎞
2 1
3 0 ⎠ ∈ R
−1 −1
3×2 .
⎛ ⎞
1 2 0
⎜ 0 0 0 ⎟
⎝ 0 1 −1 ⎠
1 0 0
∈ R4×3 .
Man kann bei Matrizen statt reeller Zahlen auch komplexe Zahlen als Einträge
nehmen. Man schreibt entsprechend A ∈ C n×m . Statt der transponierten Matrix
wird dann oft die hermitesche Matrix A ∗ (oder A H ) betrachtet, die sich aus A T
ergibt, indem alle Einträge konjugiert komplex genommen werden.
Beispiel 9:
Zu A = � i 2+i
0 3i
Satz 8.10
Zu A ∈ R m×n , B ∈ R n×l gilt:
Bemerkung:
(A · B) T = B T · A T .
� � �
ist A∗ −i 0 = 2−i −3i .
Es ist B T ∈ R l×n , A T ∈ R n×m , d.h. die Matrix-Multiplikation B T ·A T ist durchführbar.
8.3. Matrizen