Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen
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6 Integralrechnung 72<br />
Beispiel 3:<br />
�<br />
cos 2 �<br />
�<br />
xdx = cos x · cos xdx = sinx · cos x −<br />
�<br />
= sinx · cos x + sin 2 xdx<br />
�<br />
= sinx · cos x + (1 − cos 2 )xdx<br />
�<br />
= sinx · cos x + x − cos 2 xdx<br />
�<br />
⇒ 2 · cos 2 x dx = sin x · cos x + x<br />
�<br />
⇒ cos 2 xdx = 1<br />
(sin x · cos x + x)<br />
2<br />
Bemerkung:<br />
Den Wert <strong>von</strong><br />
�b<br />
a<br />
sinx · (− sinx)dx<br />
cos 2 xdx bei speziellen Werten <strong>von</strong> a und b kann man auch<br />
aus Symmetrieüberlegungen bestimmen, z.B. bei<br />
1<br />
π�<br />
cos2 xdx:<br />
0<br />
π 2π<br />
Es ist cos 2 + sin 2 = 1. Wegen der Symmetrie <strong>von</strong> cosx und sinx wird das<br />
Rechteck [0, π] × [0, 1] durch den Grafen zu cos 2 genau halbiert, so dass sich<br />
sofort ergibt:<br />
�π<br />
0<br />
cos 2 xdx = 1�<br />
� 1<br />
π · 1 =<br />
2 2 π.<br />
Literatur: [Dürr] 13.2.1; [Rie] 8.2; [Pap1] V.8.2<br />
Übungen: [Stingl] 8.3, 1; [Dürr] 13.2, 1; [RieÜ] 8.4; [PapÜ] C16-C20<br />
6.2. Integration als Umkehrung der Differenziation
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