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3 Folgen und Reihen 34
3. Folgen und Reihen
3.1. Folgen
Definition 3.1
Eine Abbildung N → C, n ↦→ an heißt Folge (Schreibweise: (an)n∈N).
Bemerkung:
Sind alle an ∈ R, so spricht man auch von reeller Folge.
Beispiel 1:
( 1
n )n∈N ist eine Folge; zu n ist 1
n
1. Als ” Funktionsgraf“:
an
2. Auf der Zahlengerade:
1
×
ein Folgenglied. Darstellung:
×
×
×
× × × ×
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
×
×
×××××××××××××××××××××××
Definition 3.2
Eine Folge (an)n∈N heißt konvergent gegen den Grenzwert a ( lim
n→∞ an = a oder
an n→∞
→ a)
:⇔ für alle ε > 0 gilt: Für alle großen n ist |an − a| < ε.
Andernfalls heißt die Folge divergent.
Bemerkungen:
1. ” für alle großen n gilt . . .“ bedeutet genauer:
Es gibt ein N, so dass für alle n ≥ N gilt: . . ..
2. Die Menge Uε(a) = {x| |a−x| < ε} heißt ε-Umgebung von a. lim
n→∞ an = a bedeutet
also: Für jedes ε > 0 gilt: Für alle großen n liegt an in Uε(a).
3.1. Folgen
×
×
n