Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

5 Differenzialrechnung 56
Bemerkung:
Die folgenden Bilder zeigen einen typischen Verlauf von f, f ′ , f ′′ :
×
x0
f
Satz 5.10
Sei f : ]a, b[ → R 2-mal differenzierbar.
Bemerkung:
1. Ist f ′′ (x) <
> 0 für alle x ∈ ]a, b[ , so ist f rechtsgekrümmt (konkav)
f ′
x0
linksgekrümmt (konvex)
2. Ist f sogar 3-mal stetig differenzierbar, x0 ∈ ]a, b[ mit f ′′ (x0) = 0 und
f ′′′ (x0) �= 0, so ändert sich das Krümmungsverhalten in x0.
x0 heißt dann Wendestelle.
Eine Wendestelle x0 mit f ′ (x0) heißt auch Sattelstelle,
z.B. x0 = 0 bei f(x) = x 3 .
Eine Kurvendiskussion dient dazu, sich ein Bild von einer Funktion zu machen.
Dazu bestimmt man:
• ggf. den maximal möglichen Definitionsbereich,
• die Nullstellen,
• die Extremstellen,
• die Wendepunkte,
• das Krümmungsverhalten,
• ggf. die Grenzwerte bei isolierten nicht definierten Stellen bzw. die Grenzwerte am
Rand des Definitionsbereichs.
x
Beispiel 1: f(x) =
x2 + 1
• Definitionsbereich: D = R.
• Nullstellen: f(x) = 0 ⇔ x = 0.
• Es ist f ′ (x) = 1 · (x2 + 1) − x · 2x
(x 2 + 1) 2
= −x2 + 1
(x 2 + 1) 2.
Da f auf ganz R differenzierbar ist, ist eine notwendige Bedingung für eine
Extremstelle, dass f ′ (x) = 0 ist, d.h. −x 2 + 1 = 0 also x = ±1.
5.3. Höhere Ableitungen und Kurvendiskussion
x0
×
.
f ′′