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7 Vektorrechnung 80
Definition 7.4
Sei V ein Vektorraum, �v1, . . .,�vn ∈ V
{�v1, . . .,�vn} heißt
jedes �v ∈ V lässt sich eindeutig als
:⇔
Basis von V Linearkombination von �v1, . . .,�vn darstellen.
n heißt dann Dimension von V .
Beispiel 4:
{ � � � � � � � �
1
0 , 01 } ist Basis von R2 , ebenso { 22 , 2−1 }.
Beispiel 5:
{ � � � �
2
2 , 11 } ist keine Basis von R2 .
Beispiel 6:
{ � 2 2
� , � 2
−1
� � �
, 01 } ist keine Basis von R2 , da z.B.:
� � � � � � � �
2 2 2 0
= 1 · + 0 · + (−2) ·
0 2 −1 1
� � � � � �
2 2 0
= 0 · + 1 · + 1 · ;
2 −1 1
die Darstellung ist also nicht eindeutig.
Bemerkungen:
1. Man kann zeigen, dass alle Basen zu einem Vektorraum gleich viele Elemente haben.
Beispiel 7:
Im R 2 haben alle Basen zwei Elemente. R 2 ist zweidimensional.
2. Nicht jede Menge aus n Vektoren ist Basis eines n-dimensionalen Vektorraums,
siehe Beispiel 5.
Die n Vektoren müssen linear unabhängig sein.
3. Es gibt Vektorräume, die keine endliche Basis haben.
Beispiel 8:
Zur Menge aller Polynome ist {1, x, x2 , x3 , . . . } = {xn |n ∈ N0} eine Basis.
4. { � � � � �� � � � � ��
1
0 , 01
100 010 001
} bzw. , , heißt kanonische Basis von R2 bzw. von R3 ,
entsprechend für R n .
Literatur: [Stingl] 5.1; [Dürr] 5.4, 5.5
Übungen: [Stingl] 5.1, 4,5,6,17; [Dürr] 5.5, 1,2,3
7.2. Linearkombination und Basis