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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 107
Test:
⎛
1 2 1 1 0
⎞
0
→ ⎝ 0 1 0 0 −1 0 ⎠
0 0 1 −2 0 1
⎛
1 0 0 3 2 −1
→ ⎝ 0 1 0 0 −1 0
0 0 1 −2 0 1
⎞
⎠
I A−1 ⇒ A −1 ⎛
3 2
⎞
−1
= ⎝ 0 −1 0 ⎠
−2 0 1
A · A −1 =
Bemerkungen:
−2 · II − III
⎛
1 2
⎞ ⎛
1 3 2
⎞
−1
⎝ 0 −1 0 ⎠ ⎝ 0 −1 0 ⎠ =
2 4 3 −2 0 1
⎛ ⎞
1 0 0
⎝ 0 1 0 ⎠
0 0 1
1. Das Verfahren wie im Beispiel 3 kann man allgemein zur Berechnung einer Inversen
zu A ∈ R n×n nutzen. Man nennt es auch Gauß-Jordan-Verfahren.
2. Man sieht:
A ist invertierbar
⇔ A lässt sich durch elementare Zeilenoperationen
auf die Einheitsmatrix bringen
⇔ es entsteht keine 0-Zeile.
Satz 8.14
1. Ist A invertierbar, so auch A −1 und es ist (A −1 ) −1 = A, also A −1 · A = I.
2. Ist A invertierbar, so auch A T und es ist (A T ) −1 = (A −1 ) T .
3. Sind A und B invertierbar, so auch A · B und es ist (A · B) −1 = B −1 · A −1 .
Bemerkung:
Dass A die Inverse zu A −1 ist, sieht man, wenn man die Bestimmung von A −1 durch
simultanes Lösen eines Gleichungssystems wie in Beispiel 3 von unten nach oben
liest.
Aus A −1 · A = I folgt dann
I = I T = (A −1 · A) T = A T · (A −1 ) T ,
8.4. Quadratische Matrizen