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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 101
Beispiel 3:
⎛ ⎞
� � 1
2 3 −1
· ⎝ 2 ⎠ =
1 0 −1
0
� �
8
.
1
Eine Vertauschung bei der Matrix-Multiplikation (B ·A statt A·B) geht im Allgemeinen
nicht.
Beispiel 4:
Schon aus Dimensionsgründen kann man
⎛ ⎞
1 0 0 1 � �
⎝ 2 0 1 0 ⎠
2 3 −1
·
1 0 −1
0 0 −1 0
nicht bilden.
Beispiel 5:
Bei A = � � � �
2 3 −1
1 0 −1 ∈ R2×3 1 0
, B = 2 0 ∈ R
0 0
3×2 kann man sowohl A · B als auch B · A
bilden. Die Ergebnisse haben unterschiedliche Dimensionen:
A · B =
⎛ ⎞
� � 1 0
2 3 −1
· ⎝2
0 ⎠ =
1 0 −1
0 0
� �
8 0
∈ R
1 0
2×2 B · A =
⎛ ⎞
1 0 � �
⎝ 2 0 ⎠
2 3 −1
·
=
1 0 −1
0 0
,
⎛ ⎞
2 3 −1
⎝ 4 6 −2⎠
∈ R
0 0 0
3×3 .
Beispiel 6:
Bei A = � 0 1
0 0
� � �
∈ R2×2 , B = 0 0
0 1 ∈ R2×2 sind A · B und B · A aus R2×2 , aber
� � � �
0 1 0 0
A · B = ·
0 0 0 1
� � � �
0 0 0 1
B · A = ·
0 1 0 0
=
=
� �
0 1
,
0 0
� �
0 0
.
0 0
Satz 8.8
Abgesehen von der Vertauschung gelten für die Matrix-Rechnungen die üblichen
Regeln, z.B.:
8.3. Matrizen
A · (B + C) = A · B + A · C, A · (B · C) = (A · B) · C,
(α · A) · B = α · (A · B), A · (B · x) = (A · B) · x.