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7 Vektorrechnung 87
Merke: Bei vorgegebener Länge von �a und � b wird ||�a × � b|| maximal, wenn �a und � b
orthogonal sind.
Sind �a und � b parallel, so ist �a × � b = �0.
Beispiel 4:
⎛ ⎞
4
Zu �a = ⎝ 1 ⎠ und
−1
� ⎛ ⎞
2
b = ⎝1
⎠ ist �c := �a ×
0
� ⎛ ⎞
1
b = ⎝ −2 ⎠.
2
⎛ ⎞
4
⎛ ⎞
1
Es ist �a · �c = ⎝ 1 ⎠ · ⎝ −2 ⎠ = 4 − 2 − 2 = 0
−1 2
und �b · �c =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 1
⎝ 1 ⎠ · ⎝ −2⎠
= 2 − 2 + 0 = 0.
0 2
Für den von �a und � b eingeschlossenen Winkel ϕ gilt
Es ist:
cos ϕ =
=
�a · �b ||�a|| · || �b|| =
9
√ √
18 · 5
⇒ sin ϕ = � 1 − cos 2 ϕ =
4 · 2 + 1 · 1 + (−1) · 0
� 4 2 + 1 2 + (−1) 2 · √ 2 2 + 1 2 + 0 2
�
||�a|| · || � b|| · sinϕ = √ 18 · √ 5 ·
Satz 7.13
Zu �a, � b, �c ∈ R 3 ist
Bemerkung:
�a × � b = −( � b ×�a),
�a × ( � b + �c) = �a × � b +�a × �c.
1 − 92
18 · 5 =
� 1
10 =
�
= � 1 2 + (−2) 2 + 2 2 = ||�a × � b||.
Achtung: Es gilt nicht (�a × � b) × �c = �a × ( � b × �c)!
Literatur: [Dürr] 6.2; [Rie] 2.4; [Pap1] II.3.4
Übungen: [Dürr] 6.2, 2,3,6; [RieÜ] 2.9; [PapÜ] H4b)
7.4. Das Vektorprodukt
1 − 9
10 =
� 1
10
� 18 · 5
10 = √ 9 = 3