Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

3 Folgen und Reihen 41
Beispiel 9:
Da 1
k2 ≤ 1
k2−k gilt und � 1
k2 ∞�
konvergiert, folgt die Konvergenz von −k
k=1
Satz 3.13
(1) ∞� 1
ka ist für a > 1 konvergent und für a ≤ 1 divergent.
k=1
(2) ∞�
k
k=1
a · qk ist für |q| < 1 und jedes a konvergent.
(3) Sind p und q zwei Polynome, so gilt:
∞�
n=1
p(k)
q(k)
Beispiel 10:
∞� k
1.
2 + 1
k3 konvergiert nicht.
+ k
2.
k=1
(Für große k ist k2 +1
k 3 +k
∞�
k=1
k + 4
k 3 + 1 konvergiert.
(Für große k ist k+4
k 3 +1
Definition 3.14
Ein Ausdruck der Form ∞�
Beispiel 11:
konvergiert ⇔ der Grad von q ist um mindestens 2
größer als der von p.
k2 ≈ k3 = 1
k und � 1
k
konvergiert nicht.)
≈ k
k 3 = 1
k 2 und � 1
k 2 konvergiert.)
k=0
1. 1 + x + x 2 + x 3 + . . . = ∞�
k=0
akx k heißt Potenzreihe.
x k = 1
1−x .
2. 1 1
1x + 2x2 + 1
3x3 + 1
4x4 + . . . = ∞� 1
k
k=1
xk .
Bemerkung:
1
k2 �
= π2
6
Eine Potenzreihe ∞�
akxk ist eine unendliche Summe in Verallgemeinerung eines
k=0
Polynoms n�
akxk (endliche Summe).
k=0
Literatur: [Stingl] 3.5; [Dürr] 17.1, 17.2; [Rie] 9.1, 9.2; [Pap1] VI.1.1, VI.1.2, VI.2.1
Übungen: [Stingl] 3.5, 1, 5; [Dürr] 17.1, 1,2,3,5; 17.2, 3,7; [RieÜ] 9.1, 9.12
3.2. Reihen
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