Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

3 Folgen und Reihen 43
Zusammenfassung wichtiger Potenzreihen:
Satz 3.16
e x = 1 + x + 1
2! x2 + 1
3! x3 + . . . =
∞�
k=0
sinx = x − 1
3! x3 + 1
5! x5 − 1
7! x7 + − . . . =
cos x = 1 − 1
2! x2 + 1
4! x4 − 1
6! x6 + − · · · =
sinhx = x + 1
3! x3 + 1
5! x5 + 1
7! x7 + . . . =
cosh x = 1 + 1
2! x2 + 1
4! x4 + 1
6! x6 + · · · =
1
1 − x = 1 + x + x2 + x 3 + . . . =
∞�
x k
k=0
ln(1 + x) = x − 1
2 x2 + 1
3 x3 − 1
4 x4 + · · · =
Daraus kann man weitere Potenzreihen berechnen.
Beispiel 1:
1
=
1 + x2 Bemerkung:
1
k! xk
∞�
k=0
∞�
k=0
∞�
k=0
∞�
k=0
(−1) k
· x2k+1
(2k + 1)!
(−1) k
(2k)!
· x2k
1
· x2k+1
(2k + 1)!
1
· x2k
(2k)!
(|x| < 1)
∞� (−1) k+1
· x
k
k
k=1
1
1 − (−x 2 ) = 1 + (−x2 ) + (−x 2 ) 2 + (−x 2 ) 3 + . . .
= 1 − x 2 + x 4 − x 6 + − . . .
(|x| < 1)
1. Die Potenzreihenentwicklungen sind gute Näherungen für kleine Argumente x, also
e x ≈ 1 + x, sin x ≈ x, cos x ≈ 1 − 1
2 x2 , . . ..
2. Eine Funktion mit der Potenzreihenentwicklung � ∞
k=0 akx k ist
Literatur: [Dürr] 18.3
ungerade ⇔ a2k = 0 (es treten nur ungerade x-Potenzen auf)
gerade ⇔ a2k+1 = 0 (es treten nur gerade x-Potenzen auf)
Übungen: [Dürr] 18.3, 1,2
3.3. Spezielle Potenzreihen