Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen
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Anhang 119<br />
Bemerkung:<br />
Ist R =<br />
1<br />
lim<br />
n→∞<br />
n√ |an| , so ist<br />
1<br />
�<br />
n lim |nan|<br />
n→∞<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
lim<br />
n→∞ ( n√ n · n� |an|)<br />
lim<br />
n→∞<br />
1 · lim<br />
n→∞<br />
1<br />
�<br />
n√ n n · lim |an|<br />
n→∞<br />
1<br />
�<br />
n |an|<br />
= R,<br />
d.h. der Konvergenzradius der Ableitungs-Potenzreihe entspricht tatsächlich dem<br />
der ursprünglichen Reihe.<br />
Beispiel 2:<br />
(e x ) ′ =<br />
=<br />
� ∞�<br />
n=0<br />
∞�<br />
k=0<br />
1<br />
n! xn<br />
� ′<br />
=<br />
1<br />
k! xk = e x .<br />
∞�<br />
n=1<br />
C. Ergänzungen zur Differenzialrechnung<br />
1<br />
n! · n xn−1 =<br />
∞� 1<br />
(n − 1)!<br />
xn−1<br />
n=1<br />
� �� �<br />
= k
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