Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

1 Funktionen 5
Hat x 2 + px + q die Nullstellen x1 und x2, so gilt
x 2 + px + q = (x − x1)(x − x2).
Beispiel 3:
x 2 − 2x − 3 = (x − 3) � x − (−1) � = (x − 3)(x + 1).
Test: (x − 3)(x + 1) = x 2 − 3x + x − 3 = x 2 − 2x − 3.
Allgemein gilt:
(x − x1)(x − x2) = x 2 − xx2 − x1x + x1x2
= x 2 − (x1 + x2)x + x1x2.
Satz 1.5 (Satz von Vieta)
Hat x 2 + px + q zwei Nullstellen x1 und x2, so gilt x1 + x2 = −p und x1 · x2 = q.
Beispiel 4:
Findet man bei x 2 − 2x − 3 die Nullstelle x1 = −1 durch Ausprobieren, so gilt für
die zweite Nullstelle (−1) · x2 = −3, also x2 = 3.
Beispiel 5:
Bei x2 + 2x + 2 liefert Satz 1.4
x1/2 = − 2
2 ±
�
�2�2
− 2
2
= −1 ± √ −1,
also keine Lösung im Reellen.
Der Funktionsgraf schneidet die x-Achse nicht.
Bei ax 2 + bx + c muss man zunächst a ausklammern.
Beispiel 6:
f(x) = 2x 2 − 8x + 6:
f(x) = 0 ⇔ 2(x 2 − 4x + 3) = 0
⇔ x 2 − 4x + 3 = 0
⇒ x 1/2 = +2 ± � (−2) 2 − 3 = 2 ± 1
⇒ x1 = 1, x2 = 3.
Also gilt f(x) = 2(x − 1)(x − 3).
1.1. Elementare Funktionen
1