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Anhang 120
D. Ergänzungen zur Vektorrechnung
D.1. Skalarprodukt und Norm
Definition D.1
Ist V ein Vektorraum, so bezeichnet man jede Abbildung, die zwei Vektoren
v1, v2 ∈ V eine reelle Zahl 〈v1, v2〉 zuordnet, und die die Eigenschaften 1. bis
3. aus Satz 7.6 besitzt, mit Skalarprodukt:
Zu v, v1, v2, v3 ∈ V, λ ∈ R gilt
1. 〈v, v〉 ≥ 0 und 〈v, v〉 = 0 ⇒ v = 0,
2. 〈v1, v2〉 = 〈v2, v1〉,
3. 〈v1 + v2, v3〉 = 〈v1, v3〉 + 〈v2, v3〉,
〈λ · v1, v2〉 = λ · 〈v1, v2〉 = 〈v1, λ · v2〉.
Bei 〈v1, v2〉 = 0 sagt man auch hier, v1 und v2 sind orthogonal und definiert die
Norm von v als ||v|| := � 〈v, v〉.
Bemerkung:
Eine solche Norm kann man sich tatsächlich als (verallgemeinerten) Abstand vorstellen.
Der Abstand von v1 zu v2 ist ||v1 − v2||.
Es gelten die Eigenschaften aus Satz 7.10:
Satz D.2
Ist V ein Vektorraum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 und zugehöriger Norm || · ||, so gilt
für v, v1, v2 ∈ V , λ ∈ R
Beispiel 1:
1. ||λ · v|| = |λ| · ||v||
2. ||v1 + v2|| ≤ ||v1|| + ||v2|| (Dreiecksungleichung)
3. 〈v2, v1〉 ≤ ||v1|| · ||v2|| (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung).
Sei V der Vektorraum aller stetigen Funktionen [0, 2π] → R. Dann ist zu f, g ∈ V
durch
〈f, g〉 :=
�
0
2π
f(x) · g(x)dx
ein Skalarprodukt definiert. Die Eigenschaften 2. und 3. folgen aus den Rechenregeln
des Integrals, und es ist
〈f, f〉 =
�
0
2π
(f(x)) 2 dx ≥ 0,
D. Ergänzungen zur Vektorrechnung