Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

7 Vektorrechnung 83
Satz 7.8
Zu �a, � b ∈ R n gilt
�a · � b = ||�a|| · || � b|| · cos ϕ,
wobei ϕ der von �a und � b eingeschlossene Winkel ist.
Bemerkung:
In R 2 und R 3 kann man Satz 7.8 elementar geometrisch herleiten. Im R n , n ≥ 4,
fehlt die Anschauung. Durch �a · � b = ||�a|| · || � b|| · cos ϕ definiert man den Winkel ϕ
zwischen �a und � b.
Beispiel 6:
Zu �a = � 2 1
� � �
, �b = −3
4 ist
�a ·
cos ϕ =
�b ||�a|| · || �b|| −2
= √ √ ≈ −0.179
5 · 25
⇒ ϕ ≈ arccos(−0.179) ≈ 1.75 ∧
≈ 100 ◦ .
Beispiel 7:
⎛ ⎞
1
⎜
Zu �a = ⎜ 3 ⎟
⎝ 0 ⎠
2
und � ⎛ ⎞
5
⎜
b = ⎜ −1 ⎟
⎝ 2 ⎠
−1
ist
cos ϕ =
�a · � b
||�a|| · || � b||
⇒ ϕ = arccos(0) = π
2
s. Bsp. 2
=
∧
= 90 ◦ .
0
||�a|| · || � b||
= 0,
Definition 7.9
Zwei Vektoren �a, � b ∈ R n heißen orthogonal (�a ⊥ � b) :⇔ �a · � b = 0.
Beispiel 8:
� 21
� und � −2
4
� 2
1
�
·
� sind orthogonal, da
� �
−2
4
7.3. Das Skalarprodukt
= −4 + 4 = 0.