Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

Anhang 116
C. Ergänzungen zur Differenzialrechnung
Was ist die Umkehrfunktion zu f : x ↦→ 2x + 1? Es gilt:
y = 2x + 1 ⇔ y − 1 = 2x ⇔ x = 1 1
y −
2 2 .
Die Umkehrgerade wird also beschrieben durch y ↦→ 1 1
2y − 2 .
Die Steigung der ursprünglichen Geraden ist 2, die Steigung
der Umkehrgeraden ist 1
2 . Diese Invertierung der Steigung gilt
allgemein.
f(x)
f −1 (x)
Satz C.1
Ist f umkehrbar und differenzierbar in x0 mit f ′ (x0) �= 0, so ist die Umkehrfunktion
f −1 differenzierbar in y0 := f(x0) mit
Beweis:
� f −1 � ′ (y0) =
1
f ′ (x0) =
x0
f(x0)
1
f ′ (f −1 (y0)) .
f −1
f(x0)
x0
Betrachte f und g := f −1 . Dann ist (g◦f)(x) = (f −1 ◦f)(x) = x also (g◦f) ′ (x) = 1.
Mit der Kettenregel und y0 = f(x0) ergibt sich so
1 = (g ◦ f) ′ (x0) = g ′ (f(x0)) · f ′ (x) = � f −1� ′ (y0) · f ′ (x0)
und damit die Behauptung.
C. Ergänzungen zur Differenzialrechnung
f