Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

3 Folgen und Reihen 36
3.
n + 2
n2 + 1 = n � 1 + 2
�
n
n2 � 1 + 1
� = 1
n
Bemerkung:
n 2
· 1 + 2
n
1 + 1
n 2
n→∞
→ 0 · 1 + 0
1 + 0
= 0.
Aus der Konvergenz der Summe bzw. des Produkts zweier Folgen kann man nicht
auf die Konvergenz der einzelnen Folgen schließen!
Beispiel 5:
Die Folgen (an)n∈N und (bn)n∈N mit an = (−1) n und bn = −an sind nicht
konvergent, aber (cn)n∈N mit cn = an + bn = 0 ist konvergent.
Wichtige Folgengrenzwerte:
Satz 3.4
1. Für jedes a > 0 gilt: lim
n→∞
2. Für jedes a > 0 gilt: lim
n→∞
1
n a = 0.
n√ a = 1.
3. Für jedes q ∈ C mit |q| < 1 gilt: lim
n→∞ qn = 0.
4. Für jedes q ∈ C mit |q| < 1 gilt: lim
n→∞ n · qn = 0
und sogar für jedes a: lim
n→∞ na · q n = 0.
Beispiel 6:
lim
n→∞ n3
� �n 1
2
= 0.
Definition 3.5
Sei (an)n∈N eine reelle Folge.
Man sagt (an)n∈N konvergiert gegen ∞ ( lim
n→∞ an = ∞; an n→∞
→ ∞)
:⇔ Für jedes C > 0 gilt an > C für alle großen n.
(entsprechend für −∞)
Satz 3.6
Sei an > 0 für alle n. Dann gilt: an n→∞
→ ∞ ⇔ 1
an
Bemerkung:
n→∞
→ 0.
Aus Satz 3.4(4.) und Satz 3.6 folgt für jedes Q > 1 und jedes a:
lim
n→∞
Qn = ∞,
na d.h., für Q > 1 wächst Q n schneller als jede Potenz von n.
3.1. Folgen