Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

7 Vektorrechnung 90
1. Möglichkeit: Gleichungssystem für die Parameter:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 4 2 1 1
⎝ 1 ⎠ + α ⎝ 1 ⎠ + β ⎝1
⎠ = ⎝ 1 ⎠ + λ ⎝0
⎠
3 −1 0 0 1
⇒
4α + 2β − λ = 0 (I)
α + β = 0 (II)
−α − λ = −3 (III)
I − 2 · II + 2 · III ergibt −3λ = −6, also λ = 2.
� � � � � �
110 101 312
⇒ Schnittpunkt bei + 2 · =
2. Möglichkeit: Einsetzen der Geradendarstellung in die parameterfreie Ebenendarstellung:
(1 + λ · 1) − 2(1 + λ · 0) + 2(0 + λ · 1) = 5
⇔ −1 + 3λ = 5
⇔ λ = 2
⇒ Schnittpunkt bei
� � � � � �
110 101 312
+ 2 · = .
Im R 2 schneiden sich zwei nicht-parallele Geraden stets. Im R 3 können sie auch windschief
liegen, d.h. keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
Beispiel 2: ⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
1
g1 = { ⎝ 0 ⎠ + λ ⎝ 0 ⎠ | λ ∈ R}
0
⎛ ⎞
2
−2
⎛ ⎞
0
g2 = { ⎝ 6 ⎠ + µ ⎝ 2 ⎠ | µ ∈ R}
−1 4
Suche nach einem Schnittpunkt:
⎛ ⎞
0
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
2
⎛ ⎞
0
⎝0
⎠ + λ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 6 ⎠ + µ ⎝ 2 ⎠
0 −2 −1 4
⇒
λ = 2 (1)
∧ 0 = 6 + 2µ (2)
∧ −2λ = −1 + 4µ (3)
(1) ⇒ λ = 2, (2) ⇒ µ = −3
in (3) : −2 · 2 = −1 + 4(−3) �(Widerspruch)
Literatur: [Dürr] 7.1, 7.2, 7.3, 7.5; [Pap1] II.4.1, II.4.
Übungen: [Dürr] 7.2, 1-7; 7.3, 1-6; 7.5, 1-6; [RieÜ] 2.14; [PapÜ] H18, H19, H24, H32, H37, H39
7.5. Ebenen und Geraden
�
z
�
x
y
�
�