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6 Integralrechnung 65
2. Falls f integrierbar ist, ist der Grenzwert der Zwischensummen tatsächlich eindeutig.
3. Eine Riemannsche Zwischensumme kann man zur numerischen Berechnung eines
Integrals benutzen:
�b
a
f(x)dx ≈
n�
f(�xk) · ∆xk.
k=1
4. Statt der Integrationsvariablen x bei
wählen, z.B.
Beispiel 1:
�b
a
f(t)dt.
f : [a, b] → R, x ↦→ c.
Sei Z eine Zerlegung von [a, b], Z = (x0, x1, . . . , xn),
also a = x0 < x1 < . . . < xn = b und
�xk ∈ [xk−1, xk] entsprechende Zwischenstellen.
Dann gilt:
S (f, Z, �xk) =
�b
a
n�
f(�xk) · ∆xk =
k=1
f(x)dx kann man auch andere Bezeichner
n�
c · (xk − xk−1) = c ·
k=1
= c · � (x1 − x0) + (x2 − x1) + . . . + (xn − xn−1) �
= c · (−x0 + xn)
= c · (b − a).
Also ist f integrierbar mit
�b
Zu f(x) = −1 ist beispielsweise
a
f(x)dx = c · (b − a).
�2
1
f(x)dx = (−1) · (2 − 1) = −1.
(Eine Fläche unterhalb der x-Achse wird negativ gewertet.)
Satz 6.4
f : [a, b] → R ist stetig ⇒ f ist integrierbar.
6.1. Definition des Integrals und elementare Eigenschaften
c
a b
n�
(xk − xk−1)
k=1
−1
1 2