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5 Differenzialrechnung 54
5.3. Höhere Ableitungen und Kurvendiskussion
Definition 5.5
Sei f : D → R und x0 ∈ D. Man sagt:
f hat in x0 ein lokales Maximum
Minimum :⇔ es gibt eine Umgebung Uε(x0) mit:
für alle x ∈ Uε(x0) ∩ D gilt f(x) ≤
≥ f(x0).
x0 heißt dann lokale Extremstelle.
Satz 5.6
Ist f : ]a, b[ → R differenzierbar, so gilt
Bemerkungen:
x0 ∈ ]a, b[ ist lokale Extremstelle ⇒ f ′ (x0) = 0.
1. Die Rückrichtung “⇐“ im Satz 5.6 gilt nicht. Beispielsweise hat
die Funktion f : ] − 1, 1[ → R, x ↦→ x 3 die Ableitung f ′ (x) = 3x 2 ,
also insbesondere f ′ (0) = 0, 0 ist aber keine Extremstelle von f.
2. Es ist wichtig, dass x0 im Inneren des Intervalls liegt.
Bei einer lokalen Extremstelle am Rand muss die Ableitung
(einseitig betrachtet) nicht gleich Null sein.
3. Satz 5.6 kann benutzt werden, wenn man das Maximum oder Minimum einer differenzierbaren
Funktion sucht: Man berechnet die Nullstellen der Ableitung. Liegt
die Extremstelle im Inneren des Definitionsbereichs, so muss sie eine der Nullstellen
sein. Eventuell sind gesonderte Überlegungen für die Ränder des Definitionsbereichs
nötig.
Satz 5.7
Sei f : ]a, b[ → R differenzierbar.
Gilt f ′ ⎧ ⎫
⎧
⎪⎨
>
⎪⎬
⎪⎨
≥
(x) 0 für x ∈ ]a, b[ , so ist f
⎪⎩
≤⎪⎭
⎪⎩
<
5.3. Höhere Ableitungen und Kurvendiskussion
streng monoton wachsend
monoton wachsend
monoton fallend
streng monoton fallend