Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

5 Differenzialrechnung 51
5.2. Rechenregeln
Satz 5.3
Sind f und g differenzierbare Funktionen, so sind auch f ±g, f ·g, λ ·f und, falls
differenzierbar mit:
g �= 0, f
g
Beispiel 1:
(f ± g) ′ = f ′ ± g ′
(λ · f) ′ = λ · f ′
(f · g) ′ = f ′ · g + f · g ′
� f
g
� ′
speziell:
= f ′ · g − f · g ′
g2 � � ′
1
g
= −g′
.
g2 (Produktregel)
(Quotientenregel)
Betrachte f : R \ {0} → R, x ↦→ 1
x2 �
1
x2 � ′
= −(x2 ) ′
(x2 − 2x − 2x
= =
) 2 x4 x3 · x
= − 2
x 3.
Satz 5.4 (Kettenregel)
Die Verkettung differenzierbarer Funktionen f, g ist wieder differenzierbar mit
(g ◦ f) ′ (x0) = g ′ (f(x0))
� �� �
· f
äußere Ableitung
′ (x0).
� �� �
innere Ableitung
Beweis:
g(f(x)) − g(f(x0))
lim
x→x0 x − x0
Beispiel 2:
[g(f(x)) − g(f(x0))] · (f(x) − f(x0))
= lim
x→x0 (f(x) − f(x0)) · (x − x0)
= g ′ (f(x0)) · f ′ (x0).
Es sei f : C → C, x ↦→ ax und g : C → C, x ↦→ e x . Dann ist f ′ (x) = a und
g ′ (x) = e x , also
(g ◦ f)(x) = e ax und (g ◦ f) ′ (x) = g ′ (f(x)) · f ′ (x) = e ax · a.
Folgerungen:
1. Für a = j ergibt sich daraus speziell
� e jx � ′ = j · e jx = j(cos x + j sinx) = j cos x − sin x.
5.2. Rechenregeln