Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

2 Komplexe Zahlen 31
Die √ -Funktion ist weiterhin nur für reelle Zahlen ≥ 0 definiert.
Grafisch erhält man ein solches z1 durch Halbierung des Winkels und √ -Nehmen
des Betrags.
a
−1
3
2
1
z1
1
Satz 2.4 (Fundamentalsatz der Algebra)
In C besitzt jedes Polynom p(z) = anz n + an−1z n−1 + · · · + a1z + a0 mit an �= 0
genau n Nullstellen (inklusive Vielfachheit) z1, z2, . . .,zn.
Es gilt p(z) = an(z − z1)(z − z2) · . . . · (z − zn).
Man sagt auch: In C kann man jedes Polynom in Linearfaktoren zerlegen.
Beispiel 3:
z 2 + 1 besitzt die Nullstellen ±j : z 2 + 1 = (z − j)(z + j).
Beispiel 4:
p(z) = z 3 + z 2 + 3z − 5 besitzt z = 1 als Nullstelle.
Polynomdivision bringt p(z) = (z − 1)(z 2 + 2z + 5) Nullstellen von z 2 + 2z + 5 sind
z = − 2
2 ±
� �2
2
� 2
− 5 = −1 ± √ −4 = −1 ± 2j.
⇒ p(z) = (z − 1) � z − (−1 + 2j) �� z − (−1 − 2j) � .
Bemerkung:
Ist p(z) ein Polynom mit reellen Koeffizienten, so ist mit z0 immer auch z0 Nullstelle,
denn es gilt
Literatur: Stingl, 4.2
Übungen: [RieÜ] 10.2
2.2. Eigenschaften
p(z0) = an(z0) n + an−1(z0) n−1 + · · · + a1z0 + a0
= anz0 n + an−1z0 n−1 + · · · + a1z0 + a0
= anz0 n + an−1z0 n−1 + · · · + a1z0 + a0
= p(z0) = ¯0 = 0.