Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen
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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 110<br />
Satz 8.16<br />
�<br />
det<br />
⎛<br />
⎜<br />
det⎝<br />
a11 a12<br />
a21 a22<br />
�<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
= a11 · a22 − a21 · a12<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
+ + +<br />
a11 a12 a13 a11 a12<br />
a21 a22 a23 a21 a22<br />
a31 a32 a33 a31 a32<br />
− − −<br />
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32<br />
−a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12.<br />
(Regel <strong>von</strong> Sarrus; ” Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“)<br />
Beispiel 2:<br />
⎛<br />
2 6<br />
⎞<br />
2 2 6<br />
det ⎝ −1 −3 0 ⎠ −1 −3<br />
0 3 3 0 3<br />
= 2 · (−3) · 3 + 6 · 0 · 0 + 2 · (−1) · 3 − 0 · (−3) · 2 − 3 · 0 · 2 − 3 · (−1) · 6<br />
= −18 − 6 + 18 = −6<br />
Satz 8.17<br />
1. A ist regulär ⇔ detA �= 0. Dann ist detA −1 = 1<br />
det A .<br />
2. det(A T ) = det(A)<br />
3. det(A · B) = detA · detB<br />
Bemerkungen:<br />
1. det(I) = 1 ⇒ 1 = det(A · A −1 ) = detA · detA −1<br />
⇒ det A −1 = 1<br />
det A<br />
2. Achtung: Es gilt nicht det(α · A) = α · det A.<br />
Beispiel 3:<br />
det(2 · I2) = det<br />
� �<br />
2 0<br />
0 2<br />
Allgemein gilt bei A ∈ R n×n :<br />
8.5. Determinanten<br />
det(α · A) = α n · detA.<br />
= 4
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