Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen
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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 109<br />
8.5. Determinanten<br />
Definition 8.15<br />
Durch die Determinante wird jeder Matrix A ∈ Rn×n eine Zahl det A ∈ R zugeordnet,<br />
wobei gilt:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
∗ 0<br />
∗ . . . ∗<br />
1. Hat A Dreiecksgestalt, d.h. A = ⎝<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.. ⎠ oder A = ⎝<br />
.<br />
..<br />
.<br />
⎠ , so<br />
∗ . . . ∗<br />
0 ∗<br />
ist detA das Produkt der Diagonalelemente,<br />
2. det A ändert sich nicht bei Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer<br />
anderen Zeile,<br />
3. det A wechselt das Vorzeichen bei Vertauschung zweier Zeilen.<br />
Bemerkung:<br />
Durch Umformungen wie beim Gauß-Eliminationsverfahren ohne ” zu-1-Machen“<br />
der Diagonalelemente kann man die Determinante berechnen.<br />
Beispiel 1:<br />
⎛<br />
2 6<br />
⎞<br />
2<br />
det⎝<br />
−1 −3 0<br />
0 3 3<br />
⎛ ⎞<br />
2 6 2<br />
= det⎝<br />
0 0 1 ⎠<br />
0 3 3<br />
⎛ ⎞<br />
2 6 2<br />
= − det ⎝0<br />
3 3 ⎠<br />
0 0 1<br />
= −2 · 3 · 1 = −6<br />
⎠ + 1<br />
2 · I<br />
Bemerkung:<br />
� �<br />
�<br />
� a11 . . . a1n �<br />
�<br />
� �<br />
Bei A = (aij) wird auch detA = �<br />
� . . � geschrieben.<br />
�<br />
� an1 . . . ann �<br />
8.5. Determinanten
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