Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

6 Integralrechnung 71
6.2.1. Partielle Integration (Umkehrung der Produktregel)
Seien f, g stetig mit Stammfunktionen F, G. Dann ist F · G Stammfunktion zu
(F · G) ′ = F ′ · G + F · G ′ = f · G + F · g, also gilt:
F · G =
Daraus folgt:
�
�
f · G +
F · g
Satz 6.11 (partielle Integration)
Sind f, g stetig mit Stammfunktionen F, G, so gilt:
�
�
f · G = F · G − F · g,
Beispiel 1:
bzw.
�b
a
�
�
f(x)G(x)dx = F(x) · G(x) � b
a −
�b
�π
�
�
(sinx) · xdx = (− cos x) · x�
0 f G F G F g
π
0 −
�π
(− cos x) · 1 dx
0
a
F(x)g(x)dx.
�
�
= (− cos x) · x�
π
0 +
�π
cos x dx
0
�
�
= ((− cos π) · π − 0) + sin x�
π
0
= (−(−1)) · π + (sin π − 0) = π
Beispiel 2:
�
lnxdx =
�
�
1 · lnxdx = x · lnx − x ·
f G F G F g
1
x dx
�
= x · lnx − 1 dx
= x · lnx − x = x(lnx − 1)
Bei Berechnung einer Stammfunktion bietet es sich an, das Ergebnis durch Ableiten
auf seine Richtigkeit hin zu prüfen:
� �
� � ′ 1
x · (lnx − 1) = (lnx − 1) + x − 0 = lnx − 1 + 1 = lnx,
x
die Stammfunktion ist also korrekt.
6.2. Integration als Umkehrung der Differenziation