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7 Vektorrechnung 89
Durch einen Normalenvektor �n ∈ R 3 und einen Punkt �p ∈ R 3 ist eine Ebene E eindeutig
bestimmt:
E = {X ∈ R 3 |(�x − �p) ⊥ �n}
Beispiel 3 (Fortsetzung von Beispiel 2):
E = {X ∈ R 3 ⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
1
| (�x − ⎝ 1 ⎠) ⊥ ⎝ −2 ⎠)}
3 2
= {X ∈ R 3 ⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
1
| (�x − ⎝ 1 ⎠) · ⎝ −2 ⎠ = 0}
3 2
= {X ∈ R 3 ⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
1
|�x · ⎝ −2 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ · ⎝ −2 ⎠ = 5}
⎛ ⎞
2 3 2
= { ⎝
x1
x2
x3
⎠ | x1 − 2x2 + 2x3 = 5}
Fazit:
� � x1
Durch E = { x2 | n1x1 + n2x2 + n3x3 = r} wird eine Ebene festgelegt (parame-
x3
�
terfrei Form/Normalenform). �n = ist ein Normalenvektor von E.
� n1
n2
n3
Durch einen Punkt P und eine Richtung �v wird eine Gerade g
festgelegt
g = {�p + λ�v | λ ∈ R}
Dies gilt im R 3 und im R 2 , allgemein im R n .
7.5.2. Schnittpunkte
Berechnung von Schnittpunkten geschieht durch Einsetzen/Gleichsetzen der beschreibenden
Ausdrücke
Beispiel 1:
Schnittpunkt von g = {
E = {
� 113
�
+ α
� 41
−1
� 110
�
+ β
� 210
� � �
101
+ λ
�
| α, β ∈ R} = {
(vgl. Beispiel 1 bis 3 des vorigen Abschnitts).
7.5. Ebenen und Geraden
| λ ∈ R} und
� � x1
| x1 − 2x2 + 2x3 = 5}
x2
x3
�
�
�
g
�p
�
P
�v
�