Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

3 Folgen und Reihen 39
Beispiel 4:
Die Reihe ∞�
qk heißt geometrische Reihe.
Es gilt
also sn =
k=0
(1 + q + q 2 + · · · + q n )(1 − q) = 1 + q + q 2 + · · · + q n
n�
q k =
k=0
1 − qn+1
.
1 − q
− (q + q 2 + q 3 + · · · + q n+1 )
= 1 − q n+1 ,
Falls |q| < 1 ist, gilt lim
n→∞ qn+1 = 0 also lim
n→∞ sn = 1
1−q . Daraus folgt:
Satz 3.9
Die geometrische Reihe konvergiert für |q| < 1 mit ∞�
Beispiel 5:
1 1
2 + 22 + � � ∞�
1 3
2 + · · · =
Beispiel 6 (Teleskopsumme):
Betrachte ∞�
sn =
k=2
k=1
� � ∞� 1 k
2 =
k=0
1
k2−k , also ak = 1
k2 1 = −k k−1
n�
ak = a2 + a3 + · · · + an
k=2
k=0
� �
1 k 1
2 − 1 =
1− 1
2
1 − k . Dann ist:
q k = 1
1−q .
− 1 = 1.
� � � � � � � �
1 1 1 1 1 1 1 1
= − + − + − + · · · + −
1 2 2 3 3 4 n − 1 n
= 1 1
− (die Summe schiebt sich wie ein Teleskop zusammen)
1 n
= 1 − 1
n .
⇒ die Reihe konvergiert mit ∞�
ak = 1.
Damit ∞�
k=2
ak konvergiert, müssen die Folgenglieder ak (die Schritte) gegen Null streben.
k=1
Die Umkehrung gilt aber nicht: Falls die Folgenglieder gegen Null gehen, muss nicht
automatisch schon die Reihe konvergieren.
3.2. Reihen