Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

6 Integralrechnung 75
6.2.3. Ausprobieren
Statt durch eine Substitution kommt man oft auch durch Ausprobieren zu einer Stammfunktion.
Beispiel 1:
Betrachte � sin(2x)dx.
Die Stammfunktion wird irgendetwas mit cos(2x) zu tun haben. Es gilt
� cos(2x) � ′ = −2 · sin(2x)
⇒ � 1
−2 · cos(2x)� ′ 1
= · (−2) · sin(2x) = sin(2x)
−2
Also ist � sin(2x)dx = − 1
2 cos(2x).
6.2.4. Partialbruch-Zerlegung
Man kann sich überlegen, dass man eine gebrochen rationale Funktion immer durch
Partialbruchzerlegung integrieren kann.
Beispiel 1:
f(x) = x3 + x 2 − 2x
x 2 + 2x + 1
Es ist f(x) = x − 1 − 1 2
x+1 + (x+1) 2 (s. Abschnitt 1.1.4 Beispiel 2 und 4)
⇒
� x 3 + x 2 − 2x
x 2 + 2x + 1
dx =
Literatur: [Dürr] 13.2.3; [Pap1] V.8.8.3; [Rie] 8.3
� �
x − 1 − 1
x + 1 +
2
(x + 1) 2
�
dx
= 1
2 x2 − x − ln |x + 1| + 2 · −1
x + 1 .
Übungen: [Stingl] 8.3, 15; [Dürr] 13.2, 3; [RieÜ] 8.9; [PapÜ] C24-C28
6.2. Integration als Umkehrung der Differenziation