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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 92
Beispiel 1:
⎛ ⎞
� � 2
2 −1 −1
· ⎝ 3 ⎠ =
1 1 4
0
Beispiel 2:
� �
2 · 2 + (−1) · 3 + (−1) · 0
1 · 2 + 1 · 3 + 4 · 0
Das lineare Gleichungssystem oben wird beschrieben durch
⎛ ⎞
� � x1 � �
2 −1 −1
· ⎝x2
⎠
1
=
1 1 4
5
kurz: Ax = b.
Bemerkung:
x3
=
� �
1
5
Bei der Matrix-Vektor-Multiplikation müssen die Dimensionen passen:
m
A ·
R m×n
Beispiel 3:
⎛ ⎞
� � 1
2 −1
· ⎝ 2 ⎠ geht nicht.
0 3
3
Satz 8.2
Für A ∈ R m×n , x, y ∈ R n , α ∈ R gilt
n
·
n
x
R n
1
=
=
m
b
R m
A · (x ± y) = Ax ± Ay und A · (αx) = α · (Ax).
Beispiel 4:
⎛ ⎞
� � 1 � �
2 −1 −1
· ⎝ 1 ⎠
0
=
1 1 4
6
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
� � 1 2
2 −1 −1
· ( ⎝ 1 ⎠ + ⎝ 3 ⎠) =
1 1 4
1 0
8.1. Grundlagen
=
1
� �
2 −1 −1
1 1 4
� �
0
+
6
� �
1
5
⎛ ⎞
3
· ⎝4
⎠ =
1
� �
1
11