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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 99
8.3. Matrizen
Bisher kennengelernt
• Matrix als Zahlenschema
• Matrix-Vektor-Multiplikation, z.B
⎛ ⎞
� � 1 � �
2 3 −1
· ⎝2
⎠
2 · 1 + 3 · 2 + (−1) · 0
=
1 0 −1
1 · 1 + 0 · 2 + (−1) · 0
0
Definition 8.6
Sind A, B ∈ R m×n , A = (aij), B = (bij), α ∈ R, so sei
A + B := (aij + bij) ∈ R m×n
α · A := (α · aij) ∈ R m×n
(skalare Multiplikation).
Beispiel 1:
� � � � � �
2 3 −1 −1 0 2 2 + (−1) 3 + 0 (−1) + 2
+
=
1 0 −1 1 1 1 1 + 1 0 + 1 (−1) + 1
� � � � � �
2 3 −1 2 · 2 2 · 3 2 · (−1) 4 6 −2
2 ·
=
=
.
1 0 −1 2 · 1 2 · 0 2 · (−1) 2 0 −2
Bemerkung:
=
=
� �
8
.
1
� �
1 3 1
2 1 0
Offensichtlich gelten die üblichen Rechenregeln, z.B. α · (A + B) = αA + αB, d.h.
R m×n ist ein Vektorraum.
Die Operationen sind auch verträglich mit der Matrix-Vektor-Multiplikation, z.B.
(A + B) · x = A · x + B · x (Punkt-vor-Strich Rechnung).
Eine Matrix-Multiplikation ist nicht komponentenweise definiert, sondern orientiert sich
am Einsetzen in ein lineares Gleichungssystem.
Beispiel 2:
Betrachte die linke Seite eines Gleichungssystems:
2x1 + 3x2 − x3
x1 − x3
Einsetzen verschiedener x-Werte liefert verschiedene Ergebnisse:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x1 1 � � x1 0
⎝ x2 ⎠ = ⎝ 2 ⎠
8
ergibt , ⎝ x2 ⎠ = ⎝0
⎠ ergibt
1
x3 0
x3 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x1 0 � � x1 1
⎝ x2 ⎠ = ⎝ 1 ⎠
4
ergibt , ⎝x2
⎠ = ⎝ 0 ⎠ ergibt
1
−1
0
8.3. Matrizen
x3
x3
� �
0
,
0
� �
2
.
1