Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

Anhang 113
B. Ergänzungen zu Reihen
Satz B.1 (Leibniz-Kriterium)
Sei (ak)k∈N eine reelle monoton fallende Nullfolge, d.h. ak ∈ R, ak ≥ ak+1 und
lim
k→∞ ak = 0. Dann konvergiert ∞�
(−1) k+1 · ak.
Erläuterung:
Es ist s1 = (−1) 1+1 · a1 = a1
an
×
k=1
s2 = (−1) 1+1 · a1 + (−1) 2+1 · a2 = a1 − a2
s3 = . . . = a1 − a2 + a3
.
×
×
×
× × × × ×
sn
a
×
×
×
n
an+1
×
Für den Reihenwert a und die n-te Partialsumme sn gilt: |a − sn| ≤ an+1.
Beispiel 1:
∞� (−1) k+1
k=1
k
= 1 − 1 1 1
+ − + − · · ·
2 3 4
Die Reihe konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. (Der Reihenwert ist ln2.)
Satz B.2 (Quotienten-
�
und Wurzelkriterium)
�
Gilt lim � ak+1
�
�
� ak
<
> 1 oder lim
�
k |ak| <
> 1, so ist � ak konvergent
divergent .
Beispiel 2:
k→∞
Sei ak = 1
2 k . Dann gilt:
k→∞
� � �
�ak+1
� � 1
lim � � � 2
k→∞ � ak
� = lim �
k→∞ �
k+1
1
2k �
�
�
�
�
�
�
k
k 1
lim |ak| = lim
k→∞
k→∞
= lim
k→∞
= lim
2k k→∞
�
�
�
2
�
k
2k+1 �
�
�
�
1
2
= 1
2
1
= lim
k→∞ 2
< 1.
×
= 1
2
×
×
< 1,
⇒ das Quotienten- und das Wurzelkriterium liefern die Konvergenz der (geometrischen)
Reihe � 1
2 k .
B. Ergänzungen zu Reihen
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