Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

6 Integralrechnung 64
6. Integralrechnung
6.1. Definition des Integrals und elementare Eigenschaften
Das Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung der
Fläche unter einer Funktion f : [a, b] → R.
Idee: Approximation durch Rechtecke, genauer:
Die x-Achse wird in kleine Abschnitte eingeteilt. In
diesen Abschnitten werden jeweils Rechtecke betrachtet
mit einer Höhe, die in etwa der des Funktionsgrafen
entspricht.
Definition 6.1
Eine Zerlegung Z von [a, b] wird gebildet durch Punkte xk mit
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b
∆xk := xk − xk−1 ist die Länge des k-ten Teilintervalls.
∆Z := max{∆x1, . . ., ∆xn} heißt Feinheit der Zerlegung.
a b
x0
x1 x2
Bei einer braven Funktion kann man als Höhe des approximierenden Rechtecks in dem
Intervall [xk−1, xk] den Funktionswert an einer Zwischenstelle �xk ∈ [xk−1, xk] nehmen.
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist dann (xk − xk−1) · f(�xk).
Definition 6.2
Sei f : [a, b] → R, Z = {x0, x1, . . . , xn} eine Zerlegung von [a, b] und Zwischenstellen
�xk ∈ [xk−1, xk] gewählt. Dann heißt
S(f, Z, �xk) :=
n�
f(�xk) · ∆xk Riemannsche Zwischensumme.
k=1
Definition 6.3
Eine Funktion f : [a, b] → R ist integrierbar
:⇔ für jede Folge Zn von Zerlegungen mit lim
gewählten Zwischenstellen �xk (n) existiert lim
n→∞ S
Dieser Grenzwert ist dann gleich
Bemerkungen:
�b
a
. . .
xn
n→∞ ∆Zn = 0 und entsprechend Zn
�
f, Zn, �xk (n)�
.
f(x)dx ( ” Integral von a bis b über f“).
1. Das wie oben definierte Integral heißt auch Riemann-Integral.
6.1. Definition des Integrals und elementare Eigenschaften