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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 94
8.2. Das Gaußsche Eliminationsverfahren
Das Gaußsche Eliminationsverfahren dient zur Lösung linearer Gleichungssysteme z.B:
2x1 + 4x2 + 4x4 = 8
x1 + 3x2 + x3 + 4x4 = 10
−2x1 − 2x2 + x3 + x4 = 7
− x2 + x4 = −1
bzw. als erweiterte Koeffizientenmatrix (Koeffizienten + rechte Seite)
⎛
⎜
⎝
2 4 0 4 8
1 3 1 4 10
−2 −2 1 1 7
0 −1 0 1 −1
⎞
⎟
⎠
Idee zur Lösung: Die Lösungsmenge ändert sich nicht, wenn man
• Gleichungen/Zeilen mit einem Faktor �= 0 multipliziert
• Gleichungen/Zeilen vertauscht
• Vielfache einer Gleichung/Zeile auf eine andere Gleichung/Zeile addiert bzw. davon
subtrahiert.
Mit diesen Umformungen (elementare Zeilenoperationen) versucht man, eine Zeilen-
Stufen-Form zu erreichen.
Beispiel 1:
→
→
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
2 4 0 4 8
1 3 1 4 10
−2 −2 1 1 7
0 −1 0 1 −1
1 2 0 2 4
1 3 1 4 10
−2 −2 1 1 7
0 −1 0 1 −1
1 2 0 2 4
0 1 1 2 6
0 2 1 5 15
0 −1 0 1 −1
⎞
⎞
⎟
⎠
⎞
: 2
⎟
⎠ −I
+ 2 · I
⎟
⎠ −2 · II
+ II
8.2. Das Gaußsche Eliminationsverfahren
Schritt 1a:
Bei a11 soll eine 1 stehen
Schritt 1b:
a21, a31, . . . sollen zu 0 werden
Schritt 2a:
a22 soll 1 sein (schon erfüllt)
Schritt 2b:
a32, a42, . . . sollen zu 0 werden