Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

5 Differenzialrechnung 55
streng monoton wachsend monoton wachsend
Bemerkung:
Wie man am Beispiel f : ] − 1, 1[ → R, x ↦→ x 3 sieht, folgt aus der strengen
Monotonie nicht zwangsläufig, dass f ′ (x) immer echt grösser oder kleiner Null ist.
Satz 5.6 besagt, dass f ′ (x0) = 0 eine notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle
ist. Wie verhält sich f ′ in der Nähe von x0?
g
f ′
f
Man sieht: Bei einer Extremstelle wechselt das Vorzeichen der Ableitung. Keine Extremstelle
liegt vor, wenn das Vorzeichen der Ableitung gleich bleibt. Die Ableitung hat dann
in x0 eine Extremstelle. Die Ableitung der Ableitung ist dort also gleich Null.
Definition 5.8
Sei f : D → K differenzierbar in D und x0 ∈ D.
Ist f ′ : D → K differenzierbar (in x0), so heißt f 2-mal differenzierbar (in x0);
man schreibt f ′′ (x0) := (f ′ ) ′ (x0).
Entsprechend spricht man von 3-mal, . . ., n-mal differenzierbar.
Die n-te Ableitung wird mit f (n) bezeichnet, speziell f (2) = f ′′ , f (1) = f ′ , f (0) = f.
Im Alltag begegnet man der 2. Ableitung in Form der Beschleunigung: Ist s(t) der zurückgelegte
Weg zur Zeit t, so ist s ′ (t) die Geschwindigkeit und s ′′ (t) die Beschleunigung (in
der Physik ¨s).
Satz 5.9
Ist f : ]a, b[ → R 2-mal stetig differenzierbar und gilt für ein x0 ∈ ]a, b[, dass
f ′ (x0) = 0 und f ′′ (x0) <
> 0 ist, so hat f in x0 ein lokales Maximum
Minimum .
5.3. Höhere Ableitungen und Kurvendiskussion
g ′