Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

Anhang 115
Beispiel 3:
1. ∞�
k=0
xk 1
, also ak = 1. Dann gilt R = lim
k→∞
1
= 1.
⇒ die Reihe konvergiert für |x| < 1 und divergiert für |x| > 1
(geometrische Reihe, Satz 3.9).
2. Betrachte ∞�
Dann ist
Also ist ∞�
k=1
1
k · xk .
R = lim
k→∞
k=1
1
k
1
k+1
k + 1
= lim
k→∞ k
= 1.
1
k · xk für |x| < 1 konvergent, für |x| > 1 divergent.
Was ist für |x| = 1?
Für x = 1 ist die Reihe divergent: ∞�
k=1
1
kxk = ∞� 1
k
k=1
(harmonische Reihe, s. Satz 3.10).
Für x = −1 ist sie konvergent: ∞� 1
k
k=1
xk = ∞� (−1)
k=1
k
k
(Leibniz-Kriterium, s. Satz B.1).
3. Erinnerung: k! := 1 · 2 · 3 · . . . · k, 0! := 1.
Zu ∞�
k=0
1
k! xk ist ak = 1
k! , also
R = lim
k→∞
�
�
�
�
�
1
k!
1
(k+1)!
�
�
�
�
�
(k + 1)!
= lim
k→∞ k!
d.h. die Potenzreihe konvergiert für jedes x.
Bemerkung:
= lim (k + 1) = ∞,
k→∞
Eine Potenzreihe konvergiert üblicherweise ” bis zur ersten Singularität“.
Beispiel 4:
1. ∞�
xk = 1
1−x konvergiert für |x| < 1. Bei x = 1 liegt eine Polstelle vor.
k=0
2. ∞�
k=1
(−1) k+1
k x k = ln(1 + k) konvergiert für |x| < 1. Bei x = −1 ist ln(1 − 1) =
ln(0) = −∞.
B. Ergänzungen zu Reihen