Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

5 Differenzialrechnung 50
Beispiel 6:
f(x) = x 2 in x0 = 1. Es ist f ′ (x0) = 2x0, also wird die
Geradengleichung beschrieben durch
Bemerkung:
g(x) = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1.
1. Im Alltag begegnet man der Ableitung in Form der Geschwindigkeit. Ist s(t) die
zurückgelegte Strecke, so ist die Änderung des Ortes pro Zeit die Geschwindigkeit,
s(t2)−s(t1)
ist die Durchschnittsgeschwindigkeit, s t2−t1
′ (t) ist die Momentangeschwindigkeit.
(Bei Zeitabhängigkeiten schreibt man in der Physik auch ˙s statt s ′ .)
2. Es ist f ′ (x0) = lim
x→x0
f(x0)) = 0 gelten, also lim
x→x0
Die Umkehrung gilt aber nicht!
Beispiel 7:
f(1)
f(x)−f(x0)
. Damit der Grenzwert existiert, muss lim (f(x) −
x−x0
x→x0
f(x) = f(x0), d.h., f muss stetig in x0 sein.
f : R → R, x ↦→ |x|.
f ist stetig in R, also insbesondere in x0 = 0. Es gilt aber
f(x) − f(0)
=
x − 0
|x|
x =
�
+1, falls x > 0
,
−1, falls x < 0
so dass lim
x→0
f(x)−f(0)
x−0
nicht existiert.
⇒ f ist nicht differenzierbar in 0.
f
�� f ′
Literatur: [Stingl] 7.3; [Dürr] 11.1; [Rie] 7.1; [Pap1] IV.1.1, IV.1.2, IV.1.3, IV.3.2
Übungen: [Stingl] 7.3, 2; [Dürr] 11.1, 1,2,6
5.1. Differenzierbare Funktionen
��
1
g