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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 108
also (A T ) −1 = (A −1 ) T .
Sind A und B invertierbar, so gilt
(A · B) · (B −1 · A −1 ) = A · (B · B −1 ) · A −1 = A · I · A −1 = A · A −1 = I,
also (A · B) −1 = B −1 · A −1 .
Beispiel 4 (Fortsetzung von Beispiel 3):
A −1 · A =
Bemerkung:
⎛
3 2
⎞
−1
⎛
1 2
⎞
1
⎝ 0 −1 0 ⎠ · ⎝0
−1 0 ⎠ =
−2 0 1 2 4 3
⎛ ⎞
1 0 0
⎝0
1 0 ⎠.
0 0 1
Hat man ein lineares Gleichungssystem Ax = b und kennt man A −1 , so ergibt sich
x = A −1 b, denn aus Ax = b folgt
A −1 b = A −1 Ax = I · x = x.
Es gibt dann keine weitere Lösung, d.h. Ax = b ist bei regulärem A eindeutig lösbar.
Beispiel 5:
Gesucht ist die Lösung zu
x1 + 2x2 + x3 = 1
− x2 = 2
2x1 + 4x2 + 3x3 = 1
also zu Ax = b mit A =
x = A −1 b =
� 1 2 1
0 −1 0
2 4 3
� � �
121
, b = . Es ist
⎛
3 2
⎞⎛
⎞
−1 1
⎝ 0 −1 0 ⎠⎝
2 ⎠ =
−2 0 1 1
Literatur: [Dürr] 8.3; [Rie] 12.3; [Pap2] I.3.2, I.4.5
⎛ ⎞
6
⎝ −2 ⎠ .
−1
Übungen: [Dürr] 8.3, 1,2,3; [RieÜ] 12.4, 12.8; [PapÜ] I26, I27, I28, I29, I30, I45
8.4. Quadratische Matrizen