Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

Anhang 125
Bemerkung:
Beispiel 3 kann man auf einen beliebigen Vektorraum erweitern:
Sei V ein Vektorraum, E die durch v1, . . .,vn ∈ V aufgespannte Ebene durch den
Ursprung (also die Menge aller Linearkombinationen der vk) und die vk seien (bzgl.
eines in V definierten Skalarprodukts 〈·, ·〉) orthogonal zueinander.
Dann ist der zu p ∈ V nächstgelegene Punkt l auf E gegeben durch
l = α1 · v1 + . . . + αn · vn mit αk =
〈p, vk〉
,
||vk|| 2
wobei || · || die von dem Skalarprodukt induzierte Norm ist.
Beispiel 4:
Beim Vektorraum V der stetigen Funktionen auf [0, 2π] mit dem in Beispiel 1
eingeführten Skalarprodukt erhält man als beste Approximation eines f ∈ V
durch die Funktionen
1, sinx, cos x, sin(2x), cos(2x), . . . , sin(nx), cos(nx)
die Funktion
mit
l = a0 · 1 + a1 cos x + b1 sinx + . . . + an cos(nx) + bn sin(nx)
n� �
= a0 + ak cos(kx) + bk sin(kx) �
k=1
a0 = 〈f,1〉 1
=
||1|| 2 π
�
0
2π
f(x)dx,
ak = 〈f,cos(kx)〉 1
=
||cos(kx)|| 2 2π
bk = 〈f,sin(kx)〉 1
=
||sin(kx)|| 2 2π
�
2π
0
2π
�
0
f(x)cos(kx)dx,
f(x)sin(kx)dx.
Dies sind genau die Fourier-Koeffizienten zu f.
D. Ergänzungen zur Vektorrechnung