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8 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 93
Definition 8.3
Ein lineares Gleichungssystem Ax = b, A ∈ R m×n , b ∈ R m heißt homogen, falls
b = 0 ist, ansonsten inhomogen.
Beispiel 5:
� � � �
2 −1 −1
1 1 4 · x = 00 ist
�
ein
�
homogenes Gleichungssystem.
� �
000
13
Eine Lösung ist x = . Weitere Lösungen sind und
Sind x und y Lösungen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0, so folgt mit Satz 8.2
A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0
A(α · x) = α · Ax = α · 0 = 0.
d.h. auch x + y und α · x sind Lösungen.
Satz 8.4
Ein lineares homogenes Gleichungssystem besitzt immer die triviale Lösung x = 0.
Die Menge aller Lösungen bildet einen Vektorraum.
Beispiel 6:
Die Lösungsmenge zu � 2 −1 −1
1 1 4
Sind x und y Lösungen von Ax = b, so folgt
A(x − y) = Ax − Ay = b − b = 0,
d.h. x − y ist Lösung des homogenen Gleichungssystems.
Beispiel 7:
� �
230
y =
ist Lösung zu � � � �
2 −1 −1
1 1 4 · x = 15 .
−1
� 26
−2
�
.
� � �
13
· x = 0 ist die Gerade g = {λ · | λ ∈ R}.
−1
Für jede andere Lösung x gilt, dass x −y das homogene Gleichungssystem löst, also
x − y ∈ g mit g aus Beispiel 6. � � � �
230 13
Die Lösungsmenge ist also { + λ | λ ∈ R}. Weitere Lösungen sind z.B.
� � � �
−1
36 101
und .
−1
� � � �
101 13
Die Lösungsmenge kann man auch beschreiben durch { + λ | λ ∈ R}.
−1
Satz 8.5
Ist xs eine spezielle Lösung von Ax = b, so erhält man sämtliche Lösungen von
Ax = b durch xs + xh, wobei xh Lösung des homogenen Systems Ax = 0 ist.
Literatur: [Rie] 12.1
Übungen: [Stingl] 5.4, 1; [Dürr] 4.2, 8
8.1. Grundlagen