Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

1 Funktionen 11
Einsetzen von x = 1 bei (∗): 12 + 3 · 1 + 5 = A(12 + 2) ⇒ A = 3
Koeffizientenvergleich bei x2 : 1 = A + B = 3 + B ⇒ B = −2
Koeffizientenvergleich bei 1: 5 = 2A − C = 6 − C ⇒ C = 1.
3 −2x + 1
⇒ f(x) = +
x − 1 x2 + 2 .
3. Ist x0 Nullstelle des Nenners und nicht Nullstelle des Zählers, so hat die Funktion
dort eine Polstelle.
Bei einer einfachen (drei-, fünf-, ... fachen) Nullstelle wechselt dort das Vorzeichen,
bei einer zweifachen (vier-, sechs-, ... fachen) bleibt es gleich.
Beispiel 6:
1
1
x−1
-1
x 2 +2x
(x+1) 2
Die Partialbruchzerlegung ermöglicht damit oft schon eine grobe Skizze des Funktionsverlaufs.
Beispiel 7:
f(x) =
x + 5
x 2 − 2x − 3 =
2 1
−
x − 3 x + 1
(s. Beispiel 3)
Bei 3 und −1 hat man also einen Pol mit Vorzeichenwechsel, Werte knapp über
drei liefern große positive Funktionswerte, Werte knapp über -1 liefern stark
negative Funktionswerte.
Literatur: [Dürr] 3.3; [Pap1] III.6.1, III.6.2
-1 3
Übungen: [Stingl] 8.3, 14; [PapÜ] A8, A10, A11, A14, A15
1.1. Elementare Funktionen