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6 Integralrechnung 73
6.2.2. Substitution (Umkehrung der Kettenregel)
Sei f stetig mit Stammfunktion F und g stetig differenzierbar. Dann ist F ◦ g Stammfunktion
zu (F ◦ g) ′ = F ′ (g) · g ′ = f(g) · g ′ , also:
�
f(g) · g ′ = F ◦ g = F(g)
bzw.
Beispiel 1:
�b
a
f � g(x) � ·g ′ (x)dx = F � g(x) �� � � b
�
�
= F
� g(b)
g(a) =
a = F� g(b) � −F � g(a) �
�
g(b)
g(a)
f(t)dt
Zu f(x) = x ist F(x) = 1
2 x2 und so ergibt die Substitutionsformel:
�
g · g ′ = F(g) = 1
2 g2 ,
z.B. � sinx · cos xdx = 1
2 sin2 x.
Beispiel 2:
Zu f(x) = 1
x ist F(x) = ln |x| und so ergibt die Substitutionsformel:
�
g ′
= ln |g|.
g
Satz 6.12 (Substitution)
Sei f stetig mit Stammfunktion F und g stetig differenzierbar. Dann gilt:
�b
a
f � g(x) � · g ′ (x)dx =
Insbesondere � g · g ′ = 1
2 g2 ,
�
g(b)
g(a)
� g ′
g
f(t)dt, und
= ln |g|.
Merkregel: Ersetze t = g(x) und dt = g ′ (x)dx.
Beispiel 3:
�
tan xdx =
�
sinx
dx =
cos x
6.2. Integration als Umkehrung der Differenziation
�
f(g) · g ′ = F(g).
�
−1
(− sin x)dx = − ln | cos x|
cos x