Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

1 Funktionen 21
1.3. Umkehrfunktionen
1.3.1. Wurzelfunktionen
Die Funktionen f(x) = x n sind für x ≥ 0 streng monoton wachsend.
Definition 1.22
Die Umkehrfunktion zu x n wird bezeichnet mit n√ x.
Bemerkungen:
1. Statt 2√ x schreibt man meist √ x.
2. Für negative x ist √ x nicht die Umkehrfunktion zu x 2 :
� (−1) 2 = √ 1 = 1 �= −1.
Es gilt √ x 2 = |x| für alle x.
3. Beim Auflösen von √ -Gleichungen können sich durch das Quadrieren falsche
Lösungen einschleichen.
Beispiel 1:
Gesucht x mit √ 2x + 3 = x
⇒ 2x + 3 = x 2
⇒ x 2 − 2x − 3 = 0
⇒ x = 3 oder x = −1
Es gilt √ 2 · 3 + 3 = √ 9 = 3, aber � 2(−1) + 3 = √ 1 = 1 �= −1.
4. f(x) = √ 1 − x 2 stellt einen Halbkreis mit Radius 1 dar,
allg. √ R 2 − x 2 einen Halbkreis mit Radius R.
Literatur: [Pap1] III.7.2
Übungen: [Dürr] 2.3, 5
1.3. Umkehrfunktionen
x 4
x 2
2√ x
4√ x
1
1
x