Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

Inhaltverzeichnis i
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
1. Funktionen 2
1.1. Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5. Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6. Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.7. Die Betrags-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3. Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Modifikation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1. Verkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2. Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3. Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.4. Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Komplexe Zahlen 28
2.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Polardarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Folgen und Reihen 34
3.1. Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Spezielle Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 44
4.1. Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5. Differenzialrechnung 48
5.1. Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3. Höhere Ableitungen und Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.1. Die Regel von De L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2. Das Newton Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60