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6 Integralrechnung 68
Definition 6.6
a� �b
a�
Für a < b setzt man f(x)dx := − f(x)dx und f(x)dx := 0.
Satz 6.7 (Rechenregeln)
Sind f, g : [a, b] → R integrierbar, so gilt:
b
1. Für c ∈ [a, b] ist
�b
�c
�b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
2.
3.
a
b
�
(f(x) + g(x))dx =
a
b
a
�b
a
c
a
�b
f(x)dx + g(x)dx.
�
�b
λ · f(x)dx = λ · f(x)dx (λ ∈ R).
a
Beispiel 5:
�1
0
Bemerkung:
(2x + 3)dx =
�1
0
= 2 · 1
2
a
�
2xdx +
0
1
a
�
3 dx = 2 ·
+ 3 · (1 − 0) = 4.
0
1
a
�
xdx +
0
1
3 dx
Oft kann man Symmetrien bei der Integralberechnung ausnutzen:
1. f gerade ⇒
�c
−c
2. f ungerade ⇒
�c
f(x)dx = 2 · f(x)dx
�c
−c
0
f(x)dx = 0
3. Die Symmetrien von sinx und cosx ergeben z.B.
2π �
0
sinxdx = 0
2π
Literatur: [Stingl] 8.1; [Dürr] 14.1; [Rie] 8.1; [Pap1] V.2
π
π�
sin(2x)dx = 0
6.1. Definition des Integrals und elementare Eigenschaften
0
−
a c b
+ −
π
+
π�
cos xdx = 0
0