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4 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 44
4. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
4.1. Grenzwerte
f(x0)
�
x0
Die Bilder zeigen unterschiedliche Funktionsverläufe. Nur im linken Bild hat man ein
” braves“ Verhalten der Funktion bei x0: Nähert man sich mit Argumenten x der Stelle
x0, so nähern sich auch die Funktionswerte f(x) dem Wert f(x0).
Definition 4.1
Sei f eine Funktion.
lim f(x) = y :⇔
x→x0
�
��
x0
für jede Folge (xn)n∈N mit xn n→∞
→ x0
und xn aus dem Definitionsbereich von f gilt f(xn) n→∞
→ y.
Falls x0 ∈ R und nur Folgen xn > x0 zugelassen sind, so schreibt man
lim
x→x0+
f(x) = y entsprechend lim
x→x0− f(x).
Dabei ist x0 = ±∞ bzw. y = ±∞ zugelassen (bei reellem Definitions- bzw. Zielbereich).
Beispiel 1:
f : R → R, x ↦→ x 2 , x0 = 2. Dann ist lim
x→2 f(x) = 4, denn für jede Folge xn → 2 gilt
offensichtlich x 2 n → 4.
Beispiel 2 (Heaviside-Funktion):
�
0, falls x ≤ 0
Sei H : R → R, x ↦→
1, falls x > 0
lim
x→0 H(x) existiert nicht, denn sei xn = (−1)n
n ; dann
besitzt � f(xn) �
n→∞
= (0, 1, 0, 1, 0, . . .) keinen Grenzwert, aber xn → 0.
n∈N
Es ist aber lim H(x) = 1, lim H(x) = 0.
x→0+ x→0−
Bemerkungen:
1. x0 muss nicht im Definitionsbereich von f liegen, wohl aber die xn.
Beispiel 3:
4.1. Grenzwerte
f : R \ {0} → R, x ↦→
sin x
x .
1
x0