Mathematik 1 - Homepage von Georg Hoever - FH Aachen

3 Folgen und Reihen 35
ε �
ε �
bzw. auf der Zahlengerade:
a
×
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
×
×
×
×
×
× × × × × × × ×
× × × ×
×
×
a
�
�
ε ε
Im Bild liegen die Folgenglieder ab a8 in der angedeuteten ε-Umgebung von a.
Beispiel 2:
1 lim
n→∞ n = 0. Denn sei ε > 0 fest gewählt (dies entspricht dem Teil für alle ε > 0“
”
der Konvergenzdefinition). Dann gilt für n > 1
ε
Beispiel 3:
Sei an = 3 für alle n. Dann ist lim
n→∞ an = 3.
Bemerkung:
Eine Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge.
×
×
×
×
×
×
. . .
, dass 1
n < ε, also � � 1
n − 0� � < ε.
Satz 3.3
Seien (an)n∈N, (bn)n∈N konvergente Folgen mit Grenzwerten a bzw. b.
Dann gilt:
1. lim
n→∞ (an ± bn) = a ± b,
2. lim
n→∞ (an · bn) = a · b,
3. lim
n→∞ (λ · an) = λ · a, für λ ∈ C,
Beispiel 4:
1.
4. Ist b �= 0, so ist bn �= 0 für große n und es gilt: lim
n→∞
n 1
=
n + 1 1 + 1 . Daher gilt lim
n→∞
n
2. n3 + n
4n3 + 1 = n3 � 1 + 1
n2 �
n3 � 4 + 1
� =
3.1. Folgen
n 3
n
n + 1 =
1 + 1
n 2
4 + 1
n 3
n→∞
→ 1
4 .
1
1 1 + lim
n→∞ n
an
bn
= a
b .
= 1
= 1.
1 + 0