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1 Funktionen 9
1.1.4. Gebrochen rationale Funktionen
Definition 1.9
Der Quotient zweier Polynome heißt (gebrochen) rationale Funktion.
Beispiel 1:
f(x) = x3 + x 2 − 2x
x 2 + 2x + 1
Bemerkungen:
1. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so heißt f auch echt gebrochen rationale
Funktion. Ansonsten kann durch Polynomdivision ein Polynom abgespalten
werden.
Beispiel 2:
f(x) = x3 +x 2 −2x
x 2 +2x+1
ist nicht echt gebrochen rational. Es ist :
�
x3 + x2 − 2x � : � x2 + 2x + 1 � −x + 1
= x − 1 +
x2 + 2x + 1
− x3 − 2x2 − x
− x 2 − 3x
x 2 + 2x + 1
− x + 1
⇒ f(x) = x − 1 +
−x + 1
x2 .
�
+
��
2x + 1
�
echt gebrochen rational
2. Echt gebrochen rationale Funktionen kann man entsprechend den linearen und quadratischen
Anteilen des Nennerpolynoms nach Satz 1.8 in die Summe einfacher
Brüche zerlegen (Partialbruch-Zerlegung):
Beispiel 3:
f(x) =
x + 5
x 2 − 2x − 3
Es ist x 2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
Ansatz
⇒
1.1. Elementare Funktionen
x + 5
x 2 − 2x − 3
A B
= +
x − 3 x + 1
= A(x + 1) + B(x − 3)
(x − 3)(x + 1)
= (A + B)x + A − 3B
.
(x − 3)(x + 1)