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4 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 45
Für lim
x→0 f(x) betrachtet man Folgen (xn)n∈N mit xn �= 0 und xn → 0.
2. Potenzreihenentwicklungen können bei Grenzwertberechnungen hilfreich sein.
Beispiel 4:
sinx
lim
x→0 x
x −
= lim
x→0
1
3! x3 + 1
5! x5 − 1
7! x7 + − . . .
x
= lim
x→0
= 1.
� 1 − 1
3! x2 + 1
5! x4 − 1
7! x6 + − . . . �
Das Wachstumsverhalten für x → ∞ ist ähnlich wie bei Folgen:
Satz 4.2
Q
(1) Für Q > 1 und jedes a gilt lim
x→∞
x
xa = ∞
( Q
” x wächst schneller als jede Potenz von x“).
(2) Für |q| < 1 und jedes a gilt lim
x→∞ qx x a = 0.
(3) Für jedes a > 0 gilt lim
x→∞
ln x
x a = 0 und lim
x→0+ xa · lnx = 0
( ” Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenz von x“).
(4) Sind p und q Polynome mit führenden Koeffizienten ap und aq, so gilt
p(x)
lim
x→∞ q(x) =
Beispiel 5:
1. lim
x→∞
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x3 = lim
2x x→∞
0 , falls q einen größeren Grad als p hat,
, falls p und q gleichen Grad haben,
ap
aq
(Vorzeichen von ap
aq
� �x 1
x
2
3 = 0.
2. lim
x→−∞ 2x x 2 = lim
x→∞ 2−x (−x) 2 = lim
2x
3. lim
x→∞
2 + 1
x2 + x
= lim
x→∞
) · ∞, falls p einen größeren Grad als q hat.
x→∞
x2 � 2 + 1
x2 �
x2 � 1 + 1
� =
x
2
1
Literatur: [Stingl] 7.1; [Dürr] 10.4; [Rie] 5.3; [Pap1] III.4.2
� �
1 x
2 x2 = 0.
= 2.
Übungen: [Stingl] 7.1, 3,4; [Dürr] 10.4, 1; 18.4, 3; [RieÜ] 5.5 Übungen: [PapÜ] D29, D30
4.1. Grenzwerte